SPLDV

SPLDV

ARTIKEL SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

1.        Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

2.        Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y dise but variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

3.        Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11 dan x + 7y  = 15

Penyelesaian :

3x + 4y = 11 . . .  persamaan (1)

x + 7y = 15 . . .  persamaan (2)

Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . . persamaan (3)

Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :

 3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 ⇔   45 – 21y + 4y = 11⇔        - 21y + 4y = 11 – 45
                                                                                                     ⇔                - 17y = - 34   ⇔                      y = 2

Nilai  y = 2 kemudian substitusikan  y  ke persamaan (3)

 x = 15 – 7y
 x = 15 – 7(2)

 x = 15 – 14

 x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian :
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :
2x – 5y = 2     ×1       2x – 5y = 2
x + 5y = 6       ×2       2x +10y = 12   -
                                        -15y = -10
                                           y = (-10)/(-15)
                                           y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6⇔  x + 5 (2/3) = 6⇔  x + 10/15 = 6⇔               x = 6 – 10/15

⇔               x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

Untuk gaaris  x + y = 5

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

•   Titik potong sumbu x, syarat y = 0

           x + y = 5

           x + 0 = 5

           x = 5

          Jadi titik potongnya (5,0)

•   Titik potong sumbu y, syarat x = 0

             x + y = 5

             0 + y = 5

             y = 5

            Jadi titik potongnya (0,5)

 Untuk garis  x - y = 1

X	0	1
Y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x – y = 1

x – 0 = 1

x = 1

Jadi titik potongnya (1,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x – y = 1

0 – y = 1

 y = -1

Jadi titik potongnya (0,-1)

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Soal Latihan !

1.        Diketahui SPLDV berikut  y + 2x = 8 dan 2y – 7x = -6

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan :

a.       Metode eliminasi

b.      Metode sebstitusi

c.       Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

d.      Metode grafik

Jawaban :

a.      Metode eliminasi

y + 2x = 8

2y – 7x = -6

*eliminasi y dari SPLDV

y + 2x = 8         x2       2y + 4x = 16

2y – 7x = -6      x1        2y – 7x = -6           -

                                           11x = 22

                                               x = 2

*eliminasi x dari SPLDV

y + 2x = 8      x7        7y + 14x = 56

2y – 7x = -     x2         4y – 14x = -12      +

                                           11y = 44

                                                y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

b.      Metode substitusi

y + 2x = 8 . . . . . . . persamaan (1)

2y – 7x = -6 . . . . . . persamaan (2)

Ubah persamaan (1) menjadi y + 2x = 8 ↔ y = 8 – 2x . . . persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)

2y – 7x = -6 ⇔ 2(8 – 2x) – 7x = -6

⇔  16 – 4x – 7x = -6

⇔  16 – 11x = -6

⇔  -11x = -6 – 16

⇔  -11x = -22

⇔       x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1)

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔       y = 8 – 4

⇔       y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

c.      Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

y + 2x = 8

2y -7x = -6

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :

y + 2x = 8     x2      2y + 4x = 16

2y – 7x = -6              x1      2y – 7x = -6     -

-11x = -22

x = 2

Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y + 2x = 8 sehingga diperoleh :

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔         y = 8 – 4

⇔         y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

d.      Metode grafik

y + 2x = 8

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
0 + 2x = 8
        x = 4 Titik potong (4, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

y + 2(0) = 8
                 y = 8Titik potong (0, 8)

Untuk garis y + 2x = 8

x	0	1	2	3	4
y	8	6	4	2	0

2y – 7x = -6

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0.
2(0) – 7x = -6
             x = 6/7Titik potong (6/7, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

       2y – 7(0) = -6
             y = -3Titik potong (0, 6/7)

            Untuk garis 2x -7y = -6

x	0	1	2	3	4
y	-3	1/2	4	15/2	11

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (2, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y + 2x =8 dan 2y – 7x = -6 adalah {(2, 4)}.

Banyak permasalahan sehari-hari yang dapat diselesaikan secara matematis. Salah satunya dengan cara membuat model SPLDV  permasalahan tersebut, kemudian mencari solusi SPLDV yang terbentuk. Ada beberapa metode untuk mencari solusi SPLDV. Pilihlah metode yang paling efektif untuk mencari solusi SPLDV agar Anda hemat waktu. Begitu juga dalam menyelesaikan setiap permasalahan tentu banyak cara mencari solusinya. Akan tetapi, pilihlah cara yang paling efektif agar solusi permasalahan tersebut segera diperoleh.

Setiap metode mempunyai tingkat kesulitan masing-masing, pahami dan pelajari semua metode kemudian gunakan metode yang benar-benar Anda paham atau kuasai agar mudah dalam mengerjakan soal dan menghemat waktu dalam pengerjaannya.

Read More

Nilai Mutlak

Yang dalam artikel jagomatematika.info kali ini akan kita bahas yaitu salah satu materi matematika untuk SMA Kleas 10 yaitu tentang nilai mutlak. apa itu nilai mutlak dan bagaimana cara menyelesaikan soal dan juga contoh soal yang benhubungan dengan nilai mutlak lengkap dengan Rumus dan juga pembahasan soal nilai mutlak.

Nilai mutlak suatu bilangan dapat diartikan jarak antara bilangan tersebut dari titik nol(0). Dengan demikian jarak selalu bernilai positif.
Misalnya:
Parhatikan garis bilangan berikut.

Jarak angka 6 dari titik 0 adalah 6
Jarak angka -6 dari titik 0 adalah 6.
Dari penjelesan di atas memang tampak bahwa nilai mutlak suatu bilangan selalu bernilai positif. 
Berkaitan dengan menentukan nilai mutlak suatu bilangan, maka muncullah tanda mutlak. Tanda mutlak disimbolkan dengan  garis 2 ditepi suatu bilangan atau bentuk aljabar.
Secara umum, bentuk persamaan nilai mutlak dapat dimaknai seperti berikut.

Jika kita mempunyai persamaan dalam bentuk aljabar, maka dapat dimaknai sebagai berikut.

Jadi, bentuk dasar di atas dpat digunakan untuk membantu menyelesaikan persamaan mutlak.
Lebih jelasnya perhatikan contoh-contoh berikut.
Contoh 
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan nilai Mutlak di bawah ini.

Jawaban:
1. Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) x + 5 = 3  , maka  x = 3 – 5 = -2
   (**) x + 5 = -3, maka x = -3 – 5 = -8
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-2, -8}

2.  Pada bentuk ini ada dua penyelesaian.
   (*) 2x + 3 = 5  , maka  2x = 5 – 3 
                                       2x = 2  <==>  x = 1
   (**) 2x + 3 = -5  , maka  2x = -5 -3
                                         2x = -8  <==> x = -4
  Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {-4, 1}

3. Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu x+1. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan x+1>= 0 atau x >= -1
Bagian kedua untuk batasan x+1< 0 atau x < -1
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (x + 1) + 2x = 7
                   3x = 7 – 1
                   3x = 6
                     x = 2 (terpenuhi, karena batasan >= -1)

(**) untuk x < -1
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(x + 1) + 2x = 7
        -x – 1 + 2x = 7
                      x = 7 + 1                 
                      x = 8 (tidak terpenuhi, karena batasan < -1)

Jadi, Himpunan penyelesaiannya adalah {2}.

 4.  Perhatikan bentuk aljabar di dalam tanda mutlak, yaitu 3x + 4. Penyelesaian persamaan nilai mutlak ini juga dibagi menjadi dua bagian.
Bagian pertama untuk batasan 3x+4>= 0 atau x >= -4/3
Bagian kedua untuk batasan 3x+4< 0 atau x < -4/3
Mari kita selesaikan.
(*) untuk x >=-4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    (3x + 4) = x – 8
        3x – x = -8 – 4
             2x =-12
               x = -6 (tidak terpenuhi, karena batasan >= -4/3)
(**) untuk x < -4/3
     Persamaan mutlak dapat ditulis:
    -(3x + 4) = x – 8
        -3x – 4 = x -8
         -3x – x = -8 + 4 
              -4x = -4
                 x = 1 (tidak terpenuhi, karena batasan < -4/3)

Jadi, Tidak ada Himpunan penyelesaiannya.

Menyelesaikan Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak caranya hampir sama dengan persamaan nilai mutlak. hanya saja berbeda sedikit pada tanda ketidaksamaannya. Langkah-langkah selanjutnya seperti menyelesaikan pertidaksamaan linear atau kuadrat satu variabel .
Pertidaksamaan  mutlak dapat digambarkan sebagai berikut.

Apabila fungsi di dalam nilai mutlak berbentuk ax + b maka pertidaksamaan nilai mutlak dapat diselesaikan seperti berikut.

Lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.

Contoh
Tentukan himpunan penyelesaian dari Pertidaksamaan nilai mutlak berikut ini.

Jawaban
1. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini sebagai berikut.
    -9 < x+7 < 9
    -9 – 7 < x < 9 – 7
       -16 < x < 2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x| -16 < x < 2}

2. Cara menyelesaikan pertidaksamaan mutlak ini dibagi menjadi dua bagian.
   (*) 2x – 1 >=  7
             2x  >=  7 + 1
             2x  >= 8
               x  >= 4

  (**) 2x – 1 <= -7
             2x   <= -7 + 1
             2x   <= -6
               x   <= -3

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { x| x <= -3 atau x >= 4}

 3. Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.
perhatikan proses berikut ini.
(x + 3)2 <= (2x – 3)2
(x + 3)2 – (2x – 3)2 <= 0
(x + 3 + 2x – 3) (x + 3 – 2x + 3) <= 0 (ingat: a2 – b2 = (a+b)(a-b))

x (6 – x) <=0

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6

 

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ x <= 0 atau x >= 6}.

Mari selidiki menggunakan garis bilangan

Oleh karena batasnya <= 0, maka penyelesaiannya adalah x <=0 atau x >=6.

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x| x <= 0 atau x >= 6}.

 

4. Menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak seperti ini lebih mudah menggunakan cara menjabarkan definisi.
Prinsipnya adalah batasan-batasan pada fungsi nilai mutlaknya.
Perhatikan pada 3x + 1 dan 2x + 4.

Dari batasan batasan itu maka dapat diperoleh batasan-batasan nilai penyelesaian seperti pada garis bilangan di bawah ini.

Dengan garis bilangan tersebut maka pengerjaanya dibagi menjadi 3 bagian daerah penyelesaian.
1. Untuk batasan x >= -1/3  ……(1)
   (3x + 1) – (2x + 4) < 10
          3x + 1 – 2x- 4 < 10
                         x- 3 < 10
                             x < 13 ..…..(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -1/3 <= x < 13

2. Untuk batasan -2<= x < -1/3  ……(1)
    -(3x + 1) – (2x + 4) < 10
          -3x – 1 – 2x – 4 < 10
                       -5x – 5 < 10
                             -5x < 15 
                               -x < 3
                             x > 3 ..…..(2)

  Dari (1) dan (2) tidak diperoleh irisan penyelesaian atau tidak ada penyelesaian.

3. Untuk batasan x < -2  ……(1)
   -(3x + 1) + (2x + 4) < 10
         -3x – 1 + 2x + 4 < 10
                        -x + 3 < 10
                             -x  < 7 
                                x > -7 ..…..(2)

  Dari (1) dan (2) diperoleh irisan penyelesaian -7 < x < -2.
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x/ -1/3 <= x < 13 atau -7 < x < -2}.

Read More